Statistik-App Nr. 5

Interaktive Visualisierung der F-Verteilung und ihrer Quantile 
Die nach dem Anfangsbuchstaben des Nachnamens von Ronald Aylmer Fisher, einem führenden Statistiker des 20. Jahrhunderts, benannte F-Verteilung spielt in vielen Bereichen der Statistik eine wichtige Rolle, z. B. bei der Varianzanalyse. Bei dieser kommen statistische Tests mit F-verteilten Prüfgrößen ins Spiel. Bei der Testentscheidung wird der Wert der Prüfgröße mit Quantilen der betreffenden F-Verteilung verglichen. Quantile der F-Verteilung findet man in den Anhängen einführender Statistiklehrbücher in Form von Tabellen. Das p-Quantil einer F-Verteilung bezeichnet den Wert x, an dem die Verteilungsfunktion der betrachteten F-Verteilung den Wert p annimmt.

Die  F-Verteilung ist eine stetige Verteilung mit zwei Parametern m und n, die auch als Freiheitsgrade angesprochen werden. Die Funktionsgleichungen für Dichte- und Verteilungsfunktion der F-Verteilung sind recht kompliziert. In den meisten Lehrbüchern der Statistik werden sie aus diesem Grunde unterdrückt und nur die Graphen der Dichte- und Verteilungsfunktion für wenige Kombinationen von m und n wiedergegeben. Wie die in Tabellenanhängen wiedergegebenen Quantile der F-Verteilung zu interpretieren sind, wie sie mit der Dichte- und Verteilungsfunktion der Verteilung zusammenhängen und wie sich eine Veränderung der Parameter m und n auf die Quantile auswirkt, ist ohne Visualisierung nicht leicht zu verstehen.

Das an der  FernUniversität Hagen entwickelte plattformunabhängige interaktive Lernobjekt zur F-Verteilung veranschaulicht Dichte- und Verteilungsfunktion der F-Verteilung und ihre Quantile.  Die beiden  folgenden Screenshots zeigen das Lernobjekt (englischsprachige Fassung). Der Nutzer kann die beiden Freiheitsgrade m und n der F-Verteilung über Schieber verändern und über ein Menüfeld einen Wert p einstellen, an dem die Verteilungsfunktion der gewählten F-Verteilung den  p annimmt.

tl_files/jds/sektionen/app/Fverteilung1.gif

F-Verteilung mit m = 2 und n = 18 Freiheitsgraden mit 0,90-Quantil


tl_files/jds/sektionen/app/Fverteilung2.gif

F-Verteilung mit m = 12 und n = 15 Freiheitsgraden mit 0,95-Quantil


             

Via QR-Code können Sie das Element auf einem mobilen Endgerät aufrufen. Die QR-Codes sind mit einem Hyperlink verknüpft, so dass Sie die Web-Adressen auch direkt am Desktop aufrufen können:

tl_files/jds/sektionen/app/fverteilungqrcode.jpg

Alternativ können Sie hier klicken.

Von diesem Lernobjekt zur F-Verteilung gibt es auch eine Java-Version. Diese ist nicht auf Smartphones und Tablets einsetzbar. Das Java-Applet lässt sich hier starten (deutschsprachige Fassung).

 

Im ersten Screenshot wurde für die Freiheitsgrade die Werte m = 2 und n = 15 eingestellt und für p der Wert p = 0,95. Im zweiten Screenshot ist m =12, n = 15 und p = 0,95.  Bei beiden Screenshots wird der Zusammenhang zwischen Dichte- und Verteilungsfunktion  deutlich. Der eingestellte Wert p ist durch die blau markierte Fläche unterhalb der Dichtekurve repräsentiert und bei den beiden Teilgrafiken für die Verteilungsfunktion durch den Punkt, an dem jeweils die gepunktete Linie an der Ordinatenachse ansetzt. Die Quantile sind hier auf der Abszissenachse durch Pfeile betont und zusätzlich numerisch ausgewiesen.  Auf diese Weise lassen sich unanschauliche Tabellen mit Werten für Quantile der F-Verteilung experimentgestützt nachvollziehen. Man „erlebt“ den Effekt von Parameteränderungen und gewinnt Einsichten, die ein Printmedium alleine nicht vermitteln kann.

Statistik-App Nr. 4

Interaktive Visualisierung der Binomialverteilung
An der FernUniversität Hagen wurden vier neue plattformunabhängige interaktive Lernobjekte fertig gestellt. Zwei Elemente sind der Binomialverteilung gewidmet (Visualisierung von Einzelwerten bzw. von Differenzen zweier Werte der Verteilungsfunktion). Ein weiteres Element veranschaulicht Differenzen zweier Werte der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung; das vierte Lernobjekt trägt dazu bei besser zu verstehen, wie sich die χ2 -Verteilung bei Variation der Anzahl der Freitheitsgrade verändert und wie die Quantile dieser Verteilung zu interpretieren sind.

Von besonderem Interesse ist die Binomialverteilung. Diese repräsentiert eine wichtige diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die nicht nur Bestandteil jeder Statistikgrundausbildung an Hochschulen ist, sondern auch zum Curriculum der Sekundarstufe II gehört. Die beiden folgenden Screenshots zeigen das Lernobjekt zur Visualisierung von Einzelwerten der Binomialverteilung (englischsprachige Fassung). Der Nutzer kann hier die beiden Parameter n und p der Verteilung verändern und auch einen Wert x einstellen, zu dem dann für die gewählte Parameterkonstellation der Wert F(x) der Binomialverteilung angezeigt wird. Im ersten Screenshot ist n = 10, p = 0,70 und x = 6,0 gewählt, beim zweiten Screenshot n = 15, p = 0,5 und x = 8,0. Werte der Verteilungsfunktion Binomialverteilung findet man in den Anhängen jedes einführenden Statistiklehrbuchs. Bei dem hier wiedergegebenen Lernobjekt wird aber sofort deutlich, was die Werte inhaltlich bedeuten. Außerdem wird der Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion unmittelbar anhand der miteinander verknüpften Grafiken verständlich.

 

tl_files/jds/sektionen/app/statistik_app_binominal-neu.gif

Wert der Verteilungsfunktion
der Binomialverteilung mit
n = 10 und p = 0,7 für x = 6,0


tl_files/jds/sektionen/app/statistik_app_binominal_2-neu.gif

Wert der Verteilungsfunktion
der Binomialverteilung mit
n = 15 und p = 0,5 für x = 8,0


             

Via QR-Code können Sie das Element oder eine Micro Site zur App auf einem mobilen Endgerät aufrufen:

Micro Site

Statistics App

Wenn Sie die interaktive Applikation zur Binomial-verteilung am PC oder Mac aktivieren wollen, klicken Sie hier.

Von diesem Lernobjekt zur Binomialverteilung gibt es auch eine Java-Version. Diese ist nicht auf Smartphones und Tablets einsetzbar. Das Java-Applet lässt sich hier starten (deutschsprachige Fassung).

 

 

Statistik-App Nr. 3

An der FernUniversität Hagen werden plattformunabhängige interaktive Lernobjekte für die Statistikausbildung entwickelt. Der erste der beiden nachstehenden Screenshots zeigt den Startzustand eines Lernobjekts (englischsprachige Fassung), mit dem die t-Verteilung und deren Quantile visualisiert werden. Tabellen mit Quantilen der t-Verteilung und anderer Verteilungen findet man in den Anhängen jeder Statistikeinführung.  Die inhaltliche Interpretation solcher Tabellenwerte, die beim Schätzen und Testen  eine zentrale Rolle spielen, bereitet  Studierende  erhebliche Probleme. Bei dem in Hagen entwickelten Lernobjekt zur t-Verteilung wird die inhaltliche Bedeutung der Quantile anhand der Dichte- und Verteilungsfunktion unmittelbar verständlich. Zusätzlich sind auch die Dichte- und Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung als Referenz einblendbar.  Dies zeigt der  zweite Screenshot.

Die Anzahl n der Freiheitsgrade der t-Verteilung lässt sich über einen Schieber vom Benutzer verändern.  Man sieht sofort, wie sich eine Veränderung des Parameters n auf die Gestalt der beiden Funktionen und auf die Quantilswerte auswirkt. Man erkennt insbesondere, dass die t-Verteilung mit zunehmender Anzahl von Freiheitsgraden der Standardnormalverteilung immer ähnlicher wird.

 

tl_files/jds/sektionen/app/App3 - Phone links.JPG

t-Verteilung mit n = 4 Freiheitsgraden
 (mit Quantil dieser Verteilung)

tl_files/jds/sektionen/app/App3 - Phone rechts.JPG

t-Verteilung mit n = 4 Freiheitsgraden und Standardnormalverteilung
(mit Quantilsvergleich)

             

Via QR-Code können Sie das Element oder eine Micro Site zur App auf einem mobilen Endgerät aufrufen:

tl_files/jds/sektionen/app/App3 _- QRlinks.jpg

tl_files/jds/sektionen/app/App3 _- QRrechts.jpg

Wenn Sie die interaktive Applikation am PC oder Mac aktivieren wollen, klicken Sie hier.

Von diesem Lernobjekt zur t-Verteilung gibt es auch eine Java-Version. Diese ist nicht auf Smartphones und Tablets einsetzbar. Das Java-Applet lässt sich hier starten (deutschsprachige Fassung).

 

 

 

 

Statistik-App Nr. 2

Weltweit einsetzbare Web-Apps für die Statistikausbildung

An der FernUniversität Hagen werden in mehreren Sprachen innovative Lernobjekte für die Statistikausbildung entwickelt, die nicht nur für Desktop-Anwendungen geeignet sind, sondern auch auf Smartphones und Tablets aller Hersteller als Web-Apps lauffähig sind. Lernobjekte dieses neuen Typs werden nach und nach zu einer umfassenden Sammlung ausgebaut und sollen dann auch über App-Stores für internetunabhängige Nutzung zum Download bereit gestellt werden. 

tl_files/jds/sektionen/app/iphone und qr engl.JPG  

Der nebenstehende Screenshot zeigt ein Lernobjekt (englischsprachige Fassung), mit dem die Standardnormalverteilung visualisiert wird.  Anstelle einer Tabelle mit Werten der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung, wie man sie in den Anhängen jeder Statistikeinführung findet, wird die inhaltliche Bedeutung eines vom Benutzer via Schieber oder via Direkteingabe frei gewählten Tabellenwerts über zwei Grafiken unmittelbar verständlich.  Neben der Grafik ist ein QR-Code zu sehen, mit dem man das Element direkt auf einem mobilen Endgerät aufrufen kann. So lassen sich  auf elegante Weise Printmaterialien direkt mit interaktiven Anwendungen verknüpfen. Dies wird an der FernUniversität auch bereits im Rahmen eines interdisziplinären Fernstudienkurses „Statistik“ praktiziert.

 

Wenn Sie vom PC oder Mac auf diese interaktive Applikation gelangen wollen, klicken Sie hier
tl_files/jds/sektionen/app/iphone und qr jap.JPG  

Da auf der Bildschirmoberfläche kaum Text erscheint, ist das Lernobjekt sehr leicht in andere Sprachen übersetzbar. Der zweite Screenshot zeigt dasselbe Lernobjekt zur Standardnormalverteilung in einer japanischen Fassung auf einem Smartphone. Es läuft auch auf jedem Tablet oder auch als Desktop-Anwendung - letztere aktivieren Sie hier.

 

Das hier präsentierte Element und etliche weitere Lernobjekte werden im Rahmen eines im Aufbau begriffenen Japanese Inter-University Networks for Statistics Education (JINSE) eingesetzt, an dessen Entwicklung die FernUniversität mitwirkt.

Statistik-App Nr. 1

Die FernUniversität Hagen hat ein Applet zur Standardnormalverteilung zur Verfügung gestellt. Zur Aktivierung des Applets auf einem PC oder MacOS-Rechner klicken Sie hier.

 

Zum Start der Anwendung auf einem Smartphone oder Tablet klicken Sie bitte hier. Sie können das Experiment für Smartphones und Tablets auch über den untenstehenden QR Code aufrufen.

(Ein Tablet ist aufgrund des größeren Displays gegenüber einem Smartphone für diese interaktive Anwendung vorzuziehen.)

tl_files/jds/sektionen/app/qrcode-standardnormal.png